Derivadas

Derivada

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.Definiciones de derivada

Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad

y\,

cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad

x\,

.En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto

P\,

de la función por el resultado de la división representada por la relación

\textstyle\frac{dy}{dx}

, que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto

P\,

de la función. Esto es fácil de entender puesto que eltriángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto

P\,

, por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de

\textstyle\frac{dy}{dx}

es siempre el mismo.Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.Definición como cociente de diferencias

Recta secante entre f(x) y f(x+h).

La derivada de una función

f\,

es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de

f\,

x\,

. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente:

(x,f(x))\,

. La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número

h\,

relativamente pequeño.

h\,

representa un cambio relativamente pequeño en

x\,

, el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos

( x, f(x) ) \,

( x+h, f(x+h) ) \,

es:

Q(h) = {f(x + h) - f(x) \over h}

Inclinación de la secante de la curvay=f(x).

expresión denominada «cociente de Newton».La derivada de

f

x

es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

\displaystyle f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} {f(x + h) - f(x) \over h}

Si la derivada de $f \,$ existe en todos los puntos $x \,$ , se puede definir la derivada de $f \,$ como la función cuyo valor en cada punto $x \,$ es la derivada de $f \,$ en $x \,$ .

Puesto que sustituir

h \,

por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la

h \,

del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de lasfunciones simples.Continuidad y diferenciabilidad Función continuaUna condición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivable en un punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una función continua es aquella en la cual pequeños incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente produce pequeños incrementos en el valor de dicha función, de manera que

f(x+\Delta x)=y + \Delta y

Haciendo estos incrementos cada vez más pequeños, las variaciones se hacen más pequeñas; cuando estos se aproximan a cero, en el límite,

\lim_{\Delta x \to 0}f(x+\Delta x)-y=0

con lo que se obtiene, f(x)=y. Para un punto particular a, quiere decir que $\scriptstyle \lim_{x \to a}f(x)=f(a)$ , y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con

\lim_{x \to a+}f(x)= \lim_{x \to a-}f(x)=\lim_{x \to a}f(x)=f(a)

es continua en el punto a. Como consecuencia lógica, toda función derivable en el intervalo abierto I, es continua en I.

Condición no recíproca

La función valor absoluto no tiene derivada en el punto (0,0).

La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean iguales pero las derivadas laterales no; en este caso concreto, la función presenta un punto anguloso en dicho punto.Un ejemplo — recurrente en la literatura usual — puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto

(0,0) \,

. Dicha función se expresa:

\operatorname{abs} (x) = |x| = \left\{ \begin{array}{rll} -x, & \mbox{si} & x < 0 \\ x, & \mbox{si} & x \ge 0 \end{array} \right.

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan:

\operatorname{abs}' (x) = |x|' = \left\{ \begin{array}{rll} -1, & \mbox{si} & x < 0 \\ 1, & \mbox{si} & x > 0 \end{array} \right.

Cuando $x \,$ vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.

De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable. Sin embargo, la función y=x|x|es diferenciable para todo x. Hállese su función derivada. En otros términos, que una función sea continua es una condición necesaria para que dicha función sea diferenciable. ( Ver "Análisis matemático" de Apóstol)Derivada de una funciónConsiderando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto

a\,

se define como sigue:

f'(a)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

si este límite existe, de lo contrario, $f'$ , la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

f'(a)=\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de $a\,$ . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.EjemploSea la función cuadrática f(x)= x2 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta función para todo punto x ∈ R — puesto que es continua en todos los puntos de su dominio —, mediante el límite de su cociente de diferencias de Newton. Así,

\begin{array}{rcl} f^\prime(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 -x^2}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} (2x + h)\\ &=& 2x \end{array}

Notación

Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una función, se escribe la derivada de la función

f\,

respecto al valor

x\,

en varios modos.Notación de NewtonLa notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

\dot{x} = \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = x^\prime(t)

\ddot{x} = x^{\prime\prime}(t)

y así sucesivamente.

Se lee «punto

x\,

» o «

x\,

punto». Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas que involucran la variable tiempo, como variable independiente; tales como velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se emplea para las primeras y segundas derivadas.Notación de LeibnizOtra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de

f\,

, se escribe:

\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}.

También puede encontrarse como $\textstyle \frac {\mathrm dy}{\mathrm dx}$ , $\textstyle \frac {\mathrm df}{\mathrm dx}$ ó $\textstyle \frac {\mathrm d}{\mathrm dx} f(x)$ . Se lee «derivada de $y\,$ ( $f\,$ ó $f\,$ de $x\,$ ) con respecto a $x\,$ ». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.

Con esta notación, se puede escribir la derivada de

f

en el punto

a

de dos modos diferentes:

\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \left(\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}\right)(a).

Si $y=f(x)\,$ , se puede escribir la derivada como

\mathrm dy \over \mathrm dx

Las derivadas sucesivas se expresan como

\frac{\mathrm d^n\left(f(x)\right)}{\mathrm dx^n}

\frac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}

para la enésima derivada de $f\,$ o de $y$ respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

\frac{\mathrm d \left(\frac{\mathrm d \left( \frac{\mathrm d \left(f(x)\right)} {\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx}

la cual se puede escribir como

\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^3 \left(f(x)\right) = \frac{\mathrm d^3}{\left(\mathrm dx\right)^3} \left(f(x)\right).

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d» parecen cancelarse simbólicamente:

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm dy}{\mathrm du} \cdot \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}.

En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimalesque se cancelan.

Ciertamente, Leibnitz (sí) consideró la derivada dy/dx como el cociente de dos «infinitésimos» dy y dx, llamados «diferenciales». Estos infinitésimos no eran números sino cantidades más pequeños que cualquier número positivo.